La fin du XVIème sera marqué par trois épidémies de peste (*) en 1577, 1587 et 1596. Au XVII ce fut le cas en 1630, 1640   Il est fort probable que les "suavet" furent aussi décimés par ces fléaux. Il apparait que les Suavet sont moins nombreux qu'au siècle précédent à St Offenge Dessous au cours du XVII et XVIII ème.

Les territoires étant restreints et la population étant parfois  importante, les "Suavet" ont émigré au cours des siècles vers les communes voisines, souvent suite à un mariage ou remariage :
- Trévignin : Suavet Jacques (né en 1640)
- Saint-Ours : Suavet Sébastien (né en 1775)
- Grésy-sur-Aix : Suavet Urbain (né en 1734)
- Mouxy : Suavet Joseph (né en 1827)
Ils sont tous originaires de Saint Offenge Dessus
D'autres communes sont aussi concernées :
- Chignin :Suavet Louis né vers 1650 originaire de Trévignin s'installe à Chignin.

- Cusy - Brison St Innocent...
On les retrouve aussi dans les villes voisines
d' Aix-les-Bains et surtout dans la principale ville du Duché : Chambéry.
Ils quittent leur métiers agricoles pour devenir artisans.

(*) Au XIVème et XVème, les épidémies se succédaient rapidement.
Aujourd'hui, très peu de personnes portent ce patronyme dans la région des Savoie..